Matemàtiques i Transport

[Miquel]

Avui al matí he anat a la Prova de la Societat Catalana de Matemàtiques, anomenada: Prova Cangur, i he topat amb tres preguntes de temes de transport, una d'autobus, l'altre de vaixells i un de cotxes, aquí les poso:
1) Dos autobusos fan el servei d'una línia circular amb un interval de pas entre l'un i l'altre de 25 minuts. Quants autobusos de més seran necessaris si es vol escurçar l'interval de pas en un 60% ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

2) Hem decidit començar un viatge túristic des de València, visitar les illes de Formentera, Eivissa, Mallorca i Menorca (potser no en aquest ordre) i finalment tornar a València. Tots els viatges els farem en vaixell, però la companyia navillera només té les línies següents (anada i tornada) :
Menorca - Malloca.
Menorca - València.
Mallorca - Eivissa.
Mallorca - València.
Eivissa - València.
Formentera - Eivissa.
Quin és el nombre mínim de viatges de vaixell que haurem de fer per a visitar les quatre illes i tornar a València?
A) 6 B) 5 C)8 D)4 E)7

3) Dos cotxes circulen per una carretera a una velocitat de 80 km/h i mantenen entre si una distància constant de 24 m. En un cert punt entren en una carretera secundaria i tots dos passen a circular a una velocitat de 50 Km/h. Quina és la distància que separa aleshores els dos cotxes?
A) 32 m B) 24 m C) 18 m D) 15 m E) 10 m.

Trieu les respostes correctes.
Jo ja ho he fet.

[orique]

Uf, el cangur. A mi em pujaven nota a mates per anar-hi i quedar en el percentil 25 per la banda alta...

[aarongilp]

Jo només vaig anar-hi un cop i vaig quedar per sobre del tercer quartil, el qual és una puntuació mooolt dolenta...

[entfe001]

Quina ironia: jo mai he participat a cap prova Cangur.

Faig explicació de les respostes amb lletra del mateix color que el fons. Qui la vulgui veure, que sel·leccioni el text. Ho sento per a les persones que vagin amb Lynx, un sistema de lectura de webs o amb el CSS desactivat, perquè podran llegir les respostes directament, però més no hi puc fer.

1. Cada autobús necessita 50 minuts per fer una volta sencera. Per altra banda, una reducció del 60% de l'interval de pas és restar-ne 15 minuts, o el que és el mateix, deixar-la en 10 minuts. Amb cinc vehicles ja es pot assolir aquesta freqüència: comptant des del minut zero, l'autobús que passi al minut 50 per la parada serà el mateix que el primer, per tant fan falta cinc vehicles (els dos existents més tres addicionals) per cobrir els serveis dels minuts zero, deu, vint, trenta i quaranta.

2. La millor forma de veure aquest problema és amb un dibuix, però si el faig es veurà i es perdrà la gràcia d'ocultar el text, així que explicaré com fer-lo: dibuixem quatre punts formant un quadrat que representen les quatre illes, punts que anomenaré A per mAllorca, N per meNorca, E per Eivissa i F per Formentera, i un cinquè punt que podem posar dins el quadrat (però preferentment fora de les diagonals) que representi València (V). L'esquema no serà geogràficament acurat, però des d'un punt de vista matemàtic no té cap importància. Fet això, dibuixem els segments AN, NV, AE, AV, EV i FE que representen, per ordre, les sis rutes navals ofertades.

A aquesta alçada es pot veure fàcilment diverses pistes, la més evident que la única comunicació de Formentera és amb la illa d'Eivissa, cosa que ens obligarà a fer servir una ruta concreta dos cops. També podem observar que la falta d'una connexió Menorca - Eivissa fa que, en cas de començar el nostre viatge des de València cap a Mallorca, un cop a Menorca o a Eivissa hauríem de recular de nou a Mallorca per visitar l'altra de les dues illes.

Amb aquestes dues observacions podem dissenyar ja una ruta mínima: des de València anem a Menorca (1), després a Mallorca (2) i finalment a Eivissa (3). D'aquí fem una escapada a Formentera (4 i 5) per, finalment, tornar cap a València (6). En resum, VNMEFEV. L'altra ruta mínima seria començar anant cap a Eivissa, fer l'escapada a Formentera i després visitar les altres dues illes grans: VEFEMNV, que no és altra cosa que la ruta d'abans recorreguda en sentit invers.

3. Suposant que els dos cotxes redueixen instantàniament la velocitat de 80 km/h a 50 km/h i que ho fan al mateix punt geogràfic (l'enunciat és poc precís), des que el primer cotxe reduís la marxa fins que ho fes el segon passarien 1,08 segons: 80 km/h són 22,22222... m/s, i el temps per recórrer una distància és espai (24m) partit entre velocitat (22,2222.... m/s). Durant aquest segon i escaig, el segon cotxe va 30 km/h més ràpid que el que té per davant (8,3333... m/s), així que la diferència d'espai es redueix pel diferencial de velocitat multiplicat pel temps, que són 9 metres (8,3333.... m/s · 1,08 s). Per tant passaran a estar separats per només 15 metres d'espai. Per cert, aquestes distàncies de seguretat són les legals?

Au, ja m'he desfogat

Edito: Pobre de l'admin que em fregoni aquest missatge!

[orique]

Tenint en compte que la DGT sempre diu que el temps de reacció és d'entre mig i un segon, tenim que si el cotxe de davant frena de cop i el de darrera és un empanat s'hi fotrà de lloros amb una probabilitat molt alta. A mí un segon de temps de reacció em sembla una eternitat si estàs al cas de conduïr, però bé....

[entfe001]

Tenint en compte que la DGT sempre diu que el temps de reacció és d'entre mig i un segon, tenim que si el cotxe de davant frena de cop i el de darrera és un empanat s'hi fotrà de lloros amb una probabilitat molt alta. A mí un segon de temps de reacció em sembla una eternitat si estàs al cas de conduïr, però bé....

Si el cotxe del darrere del problema aconsegueix frenar amb una acceleració de -12,5 m/s^2, la distància seria suficient segons la DGT.

No sé quina desacceleració es pot aconseguir amb un cotxe clavant el fre

[aarongilp]

Dubto que clavant el frè s'arribi a reduir 37.5 km/h cada segon, potser 20-25, però 37, ho dubto...

[entfe001]

Dubto que clavant el frè s'arribi a reduir 37.5 km/h cada segon, potser 20-25, però 37, ho dubto...

Pitjor: -45 km/h cada segon. És a dir, de 90 a 0 en dos segons.

Per cert, ja posats: a quina desacceleració pot arribar un tren en frenada d'emergència? Jo tenia entès entre -1,0 m/s^2 i -1,5 m/s^2, però si algú vol aprofitar per confirmar-m'ho li ho agrairia.

[Guigui]

Dubto que clavant el frè s'arribi a reduir 37.5 km/h cada segon, potser 20-25, però 37, ho dubto...

Una vegada vaig haver de passar de 130 a 0 (era a Àustria, per tant límit permès ) frenant a fons. Calculo que no deurien ser més de 5 segons (tot va passar molt ràpid), però us asseguro que em pensava que m'encastava en el cotxe que tenia davant perquè el meu no donava més de sí.

Si les dades són certes, això equivaldria a una desacceleració mitjana de 26 km/h per segon, o sigui 93,6 m/s2.

[entfe001]

Ens estem fotent uns balls de números que deixa'ls anar: 26 km/h per segon són 7,2222... m/s^2 i no pas 93,6 m/s^2, que és una acceleració brutal (per entendre'ns, gairebé deu vegades superior que la que aconsegueix un objecte en caiguda lliure a la Terra negligint el fregament de l'aire, que és d'uns 9,8 m/s^2).

Jo no sé com estan sortint aquests números, en tot cas explico com s'haurien de fer; abans aclarint, però, que les acceleracions de les que parlem últimament de km/h per segon no són km/h^2 sinó (km/h)/s = km/(h·s), una cosa una mica estranya escrit així però que és més senzill del que sembla.

Aleshores, per passar de (km/h)/s a m/s^2 = m/(s·s) = (m/s)/s només ens fa falta convertir el número que treballem de km/h a m/s tal i com ho faríem amb una velocitat normal, és a dir, dividint per 3,6. Multiplicarem pel factor 3,6 per fer la conversió inversa de m/s a km/h.

El 3,6 ve de 3600s / 1000m = 1h / 1km.

Per cert, noto com s'acosta perillosament una fregona

[Guigui]

Aleshores, per passar de (km/h)/s a m/s^2 = m/(s·s) = (m/s)/s només ens fa falta convertir el número que treballem de km/h a m/s tal i com ho faríem amb una velocitat normal, és a dir, dividint per 3,6. Multiplicarem pel factor 3,6 per fer la conversió inversa de m/s a km/h.

Doncs era aquí el meu error: he multiplicat en lloc de dividir. I ara callo abans no ens ofeguin en Ajax Expel.

[orique]

Per què? Es parla de transport. I com el títol del fil indica, de matemàtiques, a banda de física